Les séries de Fourier discrètes : la décomposition du signal en fonctions sinusoïdales
Selon le principe de l'analyse de Fourier, tout signal peut être considéré comme la somme d'une suite de fonctions sinus et cosinus de fréquences ou d'harmoniques croissantes.
f(t) = S [an cos(nt) + bn sin(nt)]
La transformation de Fourier : un changement de référentiel
On peut montrer que l'analyse en séries de Fourier est un cas particulier d'une notion plus générale, la transformation de Fourier. Cette transformation peut être vue conceptuellement comme un changement de référentiel. Dans ce nouveau référentiel, les coordonnées du signal sont les coefficients des fonctions sinusoïdales d'harmoniques croissantes. En multipliant ces coefficients par les fonctions correspondantes, on peut reconstruire le signal dans sa dimension spatio-temporelle initiale.
La transformation de Fourier permet de représenter un signal dans l'espace des fréquences et de revenir dans la dimension spatio-temporelle à partir des coefficients par la transformation inverse.
Cette technique offre la possibilité d'examiner les coefficients et de ne retenir éventuellement que les plus importants ou ceux qui correspondent à des fréquences déterminées. Lorsqu'on reconstruit le signal à partir des coefficients retenus, on obtient alors, non plus le signal initial, mais une approximation. On peut par exemple obtenir une version lissée du signal en censurant les coefficients des hautes fréquences.
On peut donc atteindre le même objectif que le lissage par une moyenne mobile avec deux avantages :
- le niveau de filtrage peut être ajusté par un choix approprié des fréquences utilisées,
- nous disposons d'une technique de compression puisque le signal peut être reconstruit à partir d'un petit nombre de coefficients.
